Asociación Escola Rosalía de Castro

Esponxa de Menger

Existen obxectos sumamente complexos que poden ser definidos matematicamente utilizando un conxunto de regras relativamente simples. A esponxa de Menger é un deles. Trátase dun conxunto fractal descrito por primeira vez en 1926 por Karl Menger mentres exploraba o concepto de dimensión topolóxica. Este inocente cubo posúe algunhas características absolutamente desconcertantes: a súa superficie é infinita e o seu volume nulo.
A esponxa de Menger (ou cubo de Menger) é un fractal -un obxecto semixeométrico cuxa estrutura básica, fragmentada ou irregular, se repite a diferentes escalas-, e trátase da versión tridimensional da alfombra de Sierpinski, outro fractal proposto por Wacaw Sierpiski en 1916.
Para entender como se constrúe unha esponxa de Menger necesitamos primeiro entender a forma en que se obtén unha alfombra de Sierpinski, cuxo resultado final é unha superficie repleta de buratos de diferentes tamaños, cunha superficie que tende a cero a medida que aumenta o numero de iteracións.
Sabemos que os obxectos teñen un número enteiro de dimensións. Unha recta, por exemplo, ten unha soa dimensión. Un cadrado ten dous, e un cubo ten tres. Pero os obxectos fractales como a alfombra de Sierpinski ou o cubo de Menger poden ter un número fraccionario de dimensións. Por exemplo, a mencionada alfombra ten unha dimensión de 1,8927... maior á dunha recta, pero menor á dunha superficie plana tradicional.
A esponxa de Menger obtense aplicando a un cubo un proceso similar ao utilizado para crear a alfombra de Sierpinski: toma un cubo e divídese cada cara do cubo en 9 cadrados. Isto subdivide o cubo en 27 cubos máis pequenos, como lle sucede ao cubo de Rubik. Eliminamos os cubos centrais de cada cara (6) e o cubo central (1), deixando soamente 20 cubos. Repetimos os pasos 1, 2 e 3 para cada un dos vinte cubos menores restantes. A esponxa de Menger é o límite deste proceso tras un número infinito de iteracións.

O resultado é unha figura que garda certo parecido cunha esponxa de mar (de aí o seu nome) e que ten unha dimensión de log 20 / log 3 =2.7268...

 

O segredo, o infinito.


En efecto, se só repetísemos o proceso de construción da esponxa un número finito de veces, seguiriamos tendo unha cantidade finita de cubos. Pero ao aplicar indefinidamente o mecanismo proposto por Menger obtemos o cubo inicial horadado unha e outra vez por unha "rede de tubos prismáticos de sección cadrada" cada vez máis pequenos, que conforman unha rede interna similar á que conforman nosos capilares, veas e arterias, pero infinitamente máis complexa. O que era un cubo converteuse nunha colección de segmentos orientados nas tres dimensións posibles, un esqueleto que a pesar de estar composto por infinitas pezas, estas posúen un "espesor" que tende a cero con cada iteración, o que fai da esponxa de Menger un obxecto cun volume nulo e unha superficie infinita.

Estas estruturas fractales adoitan ter importantes aplicacións prácticas. Os fractales axúdannos a modelar o tráfico en redes de comunicacións, a comprimir os sinais de audio e vídeo, a entender a forma en que crecen os tecidos ou evolucionan determinadas poboacións, ou na análise dos patróns sísmicos. Mesmo existen métodos de análise bolsista e de mercado que se basean nos fractales. Como podes ver, a matemática sempre resulta útil e sorprendente.